一、单选题（每题 2 分，共 30 分）

第 1 题 小杨想点一杯奶茶外卖，但还差 $5$ 元起送。于是，小杨决定点一些小料。可选的小料包括：珍珠 $1$ 元、椰果 $2$ 元、奶冻 $3$ 元、奶盖 $4$ 元。每种小料最多点 $1$ 份。请问共有多少种满足起送条件的点小料方案？

{{ select(1) }}

• $16$
• $10$
• $9$
• $7$

第 2 题 小杨和小刘是好朋友，她们在逛商场时发现新设置的大头贴自拍机，于是决定一起拍一组照片。一组照片包括 $4$ 张，这 $4$ 张照片没有顺序区分。拍每张照片时，可以选择有相框或无相框、两人可以分别选择有头饰或无头饰、还可以从 $2$ 种位置 (小杨在左，或小刘在左) 中选出一种。她们不希望一组照片中出现完全相同的相框、头饰、位置的组合。请问一组照片共有多少种不同的方案？

{{ select(2) }}

• $1820$
• $70$
• $24$
• $16$

第 3 题 下列关于 C++ 类的说法，错误的是 ( )

{{ select(3) }}

• 派生类对象占用的内存总是不小于基类对象。
• 派生类可以不实现基类的虚函数。
• 如果一个类包含纯虚函数，则它不能包含成员变量。
• 如果一个类包含纯虚函数，则不能用它定义对象。

第 4 题 下列关于树和图的说法，错误的是 ( )

{{ select(4) }}

• 每个连通图都存在生成树。
• 每个存在生成树的有向图，都一定是强连通的。
• 保留树的所有节点，并把树的每个节点指向其父节点，则可以将树转换为一个有向弱连通图。
• 保留树的所有节点，并把树的每个节点指向其子节点，则可以将树转换为一个有向无环图。

第 5 题 一对夫妻生男生女的概率相同。这对夫妻希望儿女双全。请问这对夫妻生下三个孩子时，实现儿女双全的概率是多少？( )

{{ select(5) }}

• $\frac{1}{4}$
• $\frac{1}{2}$
• $\frac{1}{4}$
• $\frac{7}{8}$

第 6 题 二项式 $(x+y)^6$ 的展开式中 $x^2y^4$ 项的系数是 ( )

{{ select(6) }}

• $720$
• $120$
• $20$
• $15$

第 7 题 对一个包含 $V$ 个顶点、$E$ 条边的图，执行广度优先搜索，其最优时间复杂度是( )

{{ select(7) }}

• $O(V)$
• $O(V+E)$
• $O(V^2)$
• $O(E)$

第 8 题 以下关于贪心法和动态规划的说法中，错误的是 ( )

{{ select(8) }}

• 动态规划能解决大部分多阶段决策问题。
• 对特定的问题，贪心法不一定适用。
• 当特定的问题适用贪心法时，通常比动态规划的时间复杂度更低。
• 对很多问题，递推实现和递归实现动态规划方法的时间复杂度相当。

第 9 题 下面程序的输出为 ( )

01 #include <iostream>
02 using namespace std;
03 int main() {
04     int N = 15, cnt = 0;
05     for (int x = 1; x + x + x <= N; x++)
06         for (int y = x; x + y + y <= N; y++)
07             for (int z = y; x + y + z <= N; z++)
08                 cnt++;
09     cout << cnt << endl;
10     return 0;
11 }

{{ select(9) }}

• $45$
• $102$
• $174$
• $3375$

第 10 题 下面程序的时间复杂度为 ( )

01 int primes[MAXP], num = 0;
02 bool isPrime[MAXN] = {false};
03 void sieve() {
04     for (int n = 2; n <= MAXN; n++) {
05         if (!isPrime[n])
06             primes[num++] = n;
07         for (int i = 0; i < num && n * primes[i] <= MAXN; i++) {
08             isPrime[n * primes[i]] = true;
09             if (n % primes[i] == 0)
10             break;
11         }
12     }
13 }

{{ select(10) }}

• $O(nlogn)$
• $O(nloglogn)$
• $O(n)$
• $O(log n)$

第 11 题 下列 Dijkstra 算法，假设图 graph 中顶点数 v、边数 e，则程序的时间复杂度为 ( )

01 typedef struct Edge {
02     int in, out; // 从下标in顶点到下标out顶点的边
03     int len; // 边长度
04     struct Edge * next;
05 } Edge;
06 // v：顶点个数，graph：出边邻接表，start：起点下标，dis：输出每个顶点的最短距离
07 void dijkstra(int v, Edge * graph[], int start, int * dis) {
08     const int MAX_DIS = 0x7fffff;
09     for (int i = 0; i < v; i++)
10         dis[i] = MAX_DIS;
11     dis[start] = 0;
12     int * visited = new int[v];
13     for (int i = 0; i < v; i++)
14         visited[i] = 0;
15     visited[start] = 1;
16     for (int t = 0; ; t++) {
17         int min = MAX_DIS, minv = -1;
18         for (int i = 0; i < v; i++) {
19             if (visited[i] == 0 && min > dis[i]) {
20                 min = dis[i];
21                 minv = i;
22             }
23         }
24         if (minv < 0)
25             break;
26         visited[minv] = 1;
27         for (Edge * e = graph[minv]; e != NULL; e = e->next)
28             if (dis[e->out] > e->len)
29                 dis[e->out] = e->len;
30     }
31     delete[] visited;
32 }

{{ select(11) }}

• $O(v^2)$
• $O(vlogv + e)$
• $O((v + e)logv)$
• $O(v+e)$

第 12 题 下面 count_triple 函数的时间复杂度为 ( )。

01 int gcd(int m, int n) {
02     if (m == 0) return n;
03     return gcd(n % m, m);
04 }
05 int count_triple(int n) {
06     int cnt = 0;
07     for (int v = 1; v * v * 4 <= n; v++)
08         for (int u = v + 1; u * (u + v) * 2 <= n; u += 2)
09             if (gcd(u, v) == 1) {
10                 int a = u * u – v * v;
11                 int b = u * v * 2;
12                 int c = u * u + v * v;
13                 cnt += n / (a + b + c);
14         }
15     return cnt;
16 }

{{ select(12) }}

• $O(n^2)$
• $O(n^2logn)$
• $O(n)$
• $O(nlogn)$

第 13 题 下面 merge_sort 函数试图实现归并排序算法，横线处应该填入的是 ( )

01 #include <vector>
02 using namespace std;
03 void merge_sort(vector<int> & arr, int left, int right) {
04     if (right – left <= 1)
05         return;
06
07     int mid = (left + right) / 2;
08     merge_sort(________); // 在此处填入选项
09     merge_sort(________); // 在此处填入选项
10 
11     vector<int> temp(right – left);
12     int i = left, j = mid, k = 0;
13     while (i < mid && j < right)
14         if (arr[i] <= arr[j])
15             temp[k++] = arr[i++];
16         else
17             temp[k++] = arr[j++];
18     while (i < mid)
19         temp[k++] = arr[i++];
20     while (j < right)
21         temp[k++] = arr[j++];
22     for (i = left, k = 0; i < right; ++i, ++k)
23         arr[i] = temp[k];
24 }

{{ select(13) }}

• 01 arr, left, mid
  02 arr, mid, right
  

• 01 arr, left, mid + 1
  02 arr, mid + 1, right
  

• 01 arr, left, mid
  02 arr, mid + 1, right
  

• 01 arr, left, mid + 1
  02 arr, mid + 1, right + 1
  

第 14 题 下面 Prim 算法程序中，横线处应该填入的是 ( )

01 #include <iostream>
02 #include <vector>
03 #include <algorithm>
04 using namespace std;
05 int prim(vector<vector<int>> & graph, int n) {
06     vector<int> key(n, INT_MAX);
07     vector<int> parent(n, -1);
08     key[0] = 0;
09     for (int i = 0; i < n; i++) {
10         int u = min_element(key.begin(), key.end()) - key.begin();
11         if (key[u] == INT_MAX)
12             break;
13         for (int v = 0; v < n; v++) {
14             if (__________) { // 在此处填入选项
15                 key[v] = graph[u][v];
16                 parent[v] = u;
17             }
18         }
19     }
20     int sum = 0;
21     for (int i = 0; i < n; i++) {
22         if (parent[i] != -1) {
23             cout << "Edge: " << parent[i] << " - " << i << " Weight: " << key[i] << endl;
24             sum += key[i];
25         }
26     }
27     return sum;
28 }
29 int main() {
30     int n, m;
31     cin >> n >> m;
32     vector<vector<int>> graph(n, vector<int>(n, 0));
33     for (int i = 0; i < m; i++) {
34         int u, v, w;
35         cin >> u >> v >> w;
36         graph[u][v] = w;
37         graph[v][u] = w;
38     }
39     int result = prim(graph, n);
40     cout << "Total weight of the minimum spanning tree: " << result << endl;
41     return 0;
42 }

{{ select(14) }}

• 01 graph[u][v] >= 0 && key[v] > graph[u][v]
  

• 01 graph[u][v] <= 0 && key[v] > graph[u][v]
  

• 01 graph[u][v] == 0 && key[v] > graph[u][v]
  

• 01 graph[u][v] != 0 && key[v] > graph[u][v]
  

第 15 题 下面的程序使用出边邻接表表达的带权无向图，则从顶点 $0$ 到顶点 $3$ 的最短距离为 ( )

01 #include <vector>
02 using namespace std;
03 class Edge {
04 public:
05     int dest;
06     int weight;
07     Edge(int d, int w) : dest(d), weight(w) {}
08 };
09 class Graph {
10 private:
11     int num_vertex;
12     vector<vector<Edge>> vve;
13 public:
14     Graph(int v) : num_vertex(v), vve(v) {}
15     void addEdge(int s, int d, int w) {
16         vve[s].emplace_back(d, w);
17         vve[d].emplace_back(s, w)
18     }
19 };
20 int main() {
21     Graph g(4);
22     g.addEdge(0, 1, 8);
23     g.addEdge(0, 2, 5);
24     g.addEdge(1, 2, 1);
25     g.addEdge(1, 3, 3);
26     g.addEdge(2, 3, 7);
27     return 0;
28 }

{{ select(15) }}

• $12$
• $11$
• $10$
• $9$

二、判断题（每题 2 分，共 20 分）

第 1 题 C++ 语言中，表达式 '9' ^ 3 的结果值为 '999'。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

第 2 题 下列 C++ 语言代码，能够安全地输出 arr[5] 的值。

01 int n = 5;
02 int arr[n] = {1, 2, 3};
03 std::cout << arr[5];

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

第 3 题 对 $n$ 个元素的数组进行排序，最差情况的时间复杂度为 $O(n^2)$。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

第 4 题 有 $4$ 个红球、$3$ 个蓝球和 $2$ 个绿球排成一排 (相同色球视为完全相同)，则不同的排列方案数为 $1260$ 种。

{{ select(19) }}

• 正确
• 错误

第 5 题 使用 math.h 或 cmath 头文件中的函数，对于 int 类型的变量 x，表达式 fabs(x) 和 sqrt(x * x) 的结果总是近似相等的。

{{ select(20) }}

• 正确
• 错误

第 6 题 运算符重载是 C++ 语言静态多态的一种典型体现，而使用 C 语言则无法实现运算符重载。

{{ select(21) }}

• 正确
• 错误

第 7 题 存在一个简单无向图满足：顶点数为 $6$，边数为 $8，6$ 个顶点的度数分别为3、3、3、3、2、2。

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

第 8 题 已知两个 double 类型的变量 $r$ 和 $theta$ 分别表示一个扇形的圆半径及圆心角 (弧度)，则扇形的周长可以通过表达式 (2 + theta) * r 求得。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

第 9 题 Dijkstra 算法的时间复杂度为 $O(V^2)$，其中 $V$ 为图中顶点的数量。

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

第 10 题 从 $32$ 名学生中选出 $2$ 人分别担任男生班长和女生班长 (男生班长必须是男生，女生班长必须是女生)，则共有 C(32, 2)/3 种不同的选法。

{{ select(25) }}

• 正确
• 错误