一、单选题（每题 2 分，共 30 分）

第 1 题 关于单链表、双链表和循环链表，下列说法正确的是 ( )

{{ select(1) }}

• 在单链表中，若已知任意结点的指针，则可以在 $O(1)$ 时间内删除该结点。
• 循环链表中一定不存在空指针。
• 在循环双链表中，尾结点的 next 指针一定为 nullptr。
• 在带头结点的循环单链表中，判定链表是否为空只需判断头结点的 next 是否指向自身。

第 2 题 双向循环链表中要在结点 p 之前插入新结点 s(均非空)，以下指针操作正确的是 ( )

{{ select(2) }}

• 01 s-> next = p;
  02 p-> prev = s;
  03 p-> next = s;
  04 s-> prev = p;
  

• 01 s -> prev = p; 
  02 s -> next = p -> next; 
  03 p -> next -> prev = s; 
  04 p -> next = s;
  

• 01 s -> next = p; 
  02 s -> prev = p->prev; 
  03 p -> prev -> next = s; 
  04 p -> prev = s;
  

• 01 s -> next = p; 
  02 s -> prev = nullptr; 
  03 p -> prev = s;
  

第 3 题 下面函数用“哑结点”统一处理删除单向链表中的头结点与中间结点。横线处应填 ( )

01 struct Node{
02     int val;
03     Node* next;
04     Node(int v):val(v),next(nullptr){}
05 };
06 
07 Node* eraseAll(Node* head, int x){
08     Node dummy(0);
09     dummy.next = head;
10     Node* cur = &dummy;
11     while(cur->next){
12         if(cur->next->val == x){
13             Node* del = cur->next;
14             ______________________
15             delete del;
16         }else cur = cur->next;
17     }
18     return dummy.next;
19 }

{{ select(3) }}

• 01 cur = cur->next;
  

• 02 cur->next = del->next;
  

• 01 del->next = cur->next;
  

• 01 cur->next = nullptr;
  

第 4 题 对如下代码实现的欧几里得算法(辗转相除法)，执行 gcd(48，18) 得到的调用序列为 ( )

01 int gcd(int a, int b) {
02     return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
03 }

{{ select(4) }}

• 01 gcd(48,18) -> gcd(18,12) -> gcd(12,6) -> gcd(6,0)
  

• 01 gcd(48,18) -> gcd(30,18) -> gcd(12,18)
  

• 01 gcd(48,18) -> gcd(18,30) -> gcd(30,6)
  

• 01 gcd(48,18) -> gcd(12,18) -> gcd(6,12)
  

第 5 题 下面代码实现了欧拉(线性)筛，横线处应填写 ( )

01 vector<int> euler_sieve(int n) {
02     vector<bool> is_composite(n + 1, false); 
03     vector<int>  primes;             04         
05     for (int i = 2; i <= n; i++) {
06         if (!is_composite[i])
07             primes.push_back(i);
08 
09         for (int j = 0; __________________________ && (long long)i * primes[j] <= n; j++) {
10             is_composite[i * primes[j]] = true;
11 
12             if (i % primes[j] == 0)
13                 break;
14         }
15     }
16     return primes;
17 }

{{ select(5) }}

• j <= n
• j < sqrt(n)
• j < primes.size()
• j < i

第 6 题 埃氏筛中将内层循环从 j=i*i开始而不是 j=2*i 的主要原因是 ( )

01 vector<int> eratosthenes_sieve(int n) {
02     vector<bool> is_composite(n + 1, false);
03     vector<int>  primes;
04 
05     for (int i = 2; i <= n; i++) {
06         if (is_composite[i]) continue;
07
08         primes.push_back(i);
09
10         for (long long j = (long long)i * i; j <= n; j += i)
11             is_composite[j] = true;
12     }
13     return primes;
14 }

{{ select(6) }}

• 因为 2*i 一定不是合数
• i*i 一定是质数
• 小于 i*i 的 i 的倍数已被更小质因子筛过
• 这样可以把时间复杂度降为 $O(n)$

第 7 题 下面程序的运行结果为 ( )

01 bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
02     int cnt = 1;
03     int last = a[0];
04
05     for (int i = 1; i < n; i++) {
06         if (a[i] - last >= dist) {
07             cnt++;
08             last = a[i];
09         }
10     }
11
12     return cnt >= k;
13 }
14 
15 int solve(int n, int a[], int k) {
16     std::sort(a, a + n);
17 
18     int l = 0;
19     int r = a[n - 1] - a[0];
20
21     while (l < r) {
22         int mid = (l + r + 1) / 2;
23
24         if (check(n, a, k, mid))
25             l = mid;
26         else
27             r = mid - 1;
28     }
29 
30     return l;
31 }
32 
33 int main() {
34     int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
35     int n = 5;
36     int k = 3;
37 
38     std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
39 
40     return 0;
41 }

{{ select(7) }}

• $2$
• $3$
• $4$
• $5$

第 8 题 在升序数组中查找第一个大于等于 x 的位置，下面循环中横线应填 ( )

01 int lowerBound(const vector<int>& a, int x){
02     int l=0, r=a.size(); 
03     while(l<r){
04         int mid = l + (r - l)/2;
05         if(a[mid] >= x)  _____________;
06         else l = mid + 1;
07     }
08     return l;
09 }

{{ select(8) }}

• 01 r = mid;
  

• 01 r = mid - 1;
  

• 01 l = mid;
  

• 01 l = mid + 1;
  

第 9 题 关于递归函数调用，下列说法错误的是 ( )

{{ select(9) }}

• 递归调用层次过深时，可能会耗尽栈空间导致栈溢出
• 尾递归函数可以通过编译器优化来避免栈溢出
• 所有递归函数都可以通过循环结构来改写，从而避免栈溢出
• 栈溢出发生时，程序会抛出异常并可以继续执行后续代码

第 10 题 给定 $n$ 根木头，第 i 根长度为 a[i]。要切成不少于 m 段等长木段，求最大可能长度，则横线上应填写 ( )

01 const int MAXN = 100005;
02 long long a[MAXN];
03 int n, m;
04 
05 bool check(long long x){
06     long long cnt = 0;
07     for(int i = 1; i <= n; i++){
08         if(x == 0) return true;
09         cnt += a[i] / x;
10         if(cnt >= m) return true;
11     }
12     return false;
13 }
14   
15 int main(){
16     cin >> n >> m;
17     long long mx = 0;
18     for(int i = 1; i <= n; i++){
19         cin >> a[i];
20         mx = max(mx, a[i]);
21     }
22
23     long long l = 1, r = mx;
24     long long ans = 0;
25 
26     while(l <= r){
27         long long mid = l + (r - l) / 2;
28 
29         if(check(mid)){
30             ans = mid;
31             ______________________
32         }else{
33             ______________________
34         }
35     }
36
37     cout << ans << endl;
38     return 0;
39 }

{{ select(10) }}

• 01 l = mid + 1;
  02 r = mid - 1;
  

• 01 l = mid - 1;
  02 r = mid + 1;
  

• 01 l = mid + 1;
  02 r = mid;
  

• 01 l = mid;
  02 r = mid + 1;
  

第 11 题 下面代码用分治求“最大连续子段和”，其时间复杂度为 ( )

01 int solve(vector<int>& a, int l, int r){
02     if(l == r) return a[l];
03 
04     int mid = l + (r - l) / 2;
05 
06     int left = solve(a, l, mid);
07     int right = solve(a, mid + 1, r);
08 
09     int sum = 0, lmax = INT_MIN;
10     for(int i = mid; i >= l; i--){
11         sum += a[i];
12         lmax = max(lmax, sum);
13     }
14 
15     sum = 0;
16     int rmax = INT_MIN;
17     for(int i = mid + 1; i <= r; i++){
18         sum += a[i];
19         rmax = max(rmax, sum);
20     }
21 
22     return max({left, right, lmax + rmax});
23 }

{{ select(11) }}

• $O(n^2)$
• $O(nlogn)$
• $O(logn)$
• $O(n)$

第 12 题 游戏大赛决赛，两组选手分别按得分从小到大排好队，现在要把他们合并成一个有序排行榜。$A$ 组: A ={12,35,67,89}，$B$ 组: B ={20，45,55,78}，下面是归并合并函数的核心循环，横线处应填入 ( )

01 int i = 0, j = 0;
02 vector<int> result;
03 
04 while (i < A.size() && j < B.size()) {
05     if (___________________) {
06         result.push_back(A[i++]);
07     } else {
08         result.push_back(B[j++]);
09     }
10 }
11
12 while (i < A.size()) {
13     result.push_back(A[i++]);
14 }
15 
16 while (j < B.size()) {
17     result.push_back(B[j++]);
18 }

{{ select(12) }}

• A[i]>= B[j]
• A[i]<= B[j]
• i>=j
• i<=j

第 13 题 有 $n$ 位同学的成绩已经从小到大排好序，现在对它执行下面这段以第一个元素为 pivot 的快速排序，请问此次排序的时间复杂度是 ( )

01 void quicksort(vector<int>& a, int l, int r) {
02     if (l >= r) return;
03     int pivot = a[l];        
04     int i = l, j = r;
05     while (i < j) {
06         while (i < j && a[j] >= pivot) j--;
07         while (i < j && a[i] <= pivot) i++;
08         if (i < j) swap(a[i], a[j]);
09     }
10     swap(a[l], a[i]);
11     quicksort(a, l, i - 1);
12     quicksort(a, i + 1, r);
13 }

{{ select(13) }}

• $O(n)$
• $O(nlogn)$
• $O(n^2)$
• $O(logn)$

第 14 题 下面关于排序算法的描述中，不正确的是 ( )

{{ select(14) }}

• 冒泡排序和插入排序都是稳定的排序算法
• 快速排序和归并排序都是不稳定的排序算法
• 冒泡排序和插入排序最好时间复杂度均为$O(n)$
• 归并排序在最好、最坏和平均三种情况的时间复杂度均为 $O(nlogn)$

第 15 题 下面代码实现两个整数除法，其中被除数为一个“大整数”，用字符串表示，除数是一个小整数，用 int 表 示，则横线处应该填写 ( )

01 int main(){
02     string s;
03     int b;
04     cin >> s >> b;
05 
06      vector<int> a;
07     for(char c : s){
08         a.push_back(c - '0');
09     }
10 
11     vector<int> c;
12     long long rem = 0;
13
14     for(int i = 0; i < a.size(); i++){
15         rem = rem * 10 + a[i];
16         int q = rem / b;
17         c.push_back(q);
18         ______________________
19     }
20 
21     int pos = 0;
22     while(pos < c.size() - 1 && c[pos] == 0) pos++;
23
24     for(int i = pos; i < c.size(); i++){
25         cout << c[i];
26     }
27
28     cout << endl;
29     cout << rem << endl;
30     return 0;
31 }

{{ select(15) }}

• 01 rem /= b;
  

• 01 rem %= b;
  

• 01 rem = b;
  

• 01 rem = q;
  

二、判断题（每题 2 分，共 20 分）

第 1 题 有一个存储了 $n$ 个整数的线性表，分别用数组和单链表两种方式实现。在已知下标(或结点指针)的前提下，数组的随机访问是 $O(1)$，而在链表中已知某结点的指针时，在该结点之后插入一个新结点的操作也是 $O(1)$。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

第 2 题 若数组 a 已按升序排列，则下面代码可以正确实现“在 a 中查找第一个大于等于 x 的元素的位置”。

01 int lowerBound(vector<int>& a,int x){
02     int l=0, r=a.size();
03     while(l < r) {
04         int mid = (l + r) / 2;
05         if( a[mid] >= x) r = mid;
06         else l = mid + 1;
07     }
08     return l;
09 }

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

第 3 题 快速排序只要每次都选取中间元素作为枢轴，就一定是稳定排序。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

第 4 题 若某算法满足递推式: $T(n)=2T(n/2)+O(n)$，则其时间复杂度为$O(nlogn)$。

{{ select(19) }}

• 正确
• 错误

第 5 题 在一个数组中，如果两个元素a[i] 和 a[j] 满足 i<j 且a[i]>a[j]，则 a[i] 和 a[j] 是一个逆序对。下面代码可以正确统计数组 a 区间 [,r] 内的逆序对总数。

01 long long cnt=0;
02 void merge_count(vector<int>& a, int l, int m, int r){
03     int i = l, j = m + 1;
04     while(i <= m && j <= r) {
05         if(a[i] <= a[j]) i++;
06         else {
07             cnt += (m -  i+ 1);
08             j++;
09         }
10     }
11 }

{{ select(20) }}

• 正确
• 错误

第 6 题 根据唯一分解定理，如果大于$1$ 的整数不能被任何不超其平方根的质数整除，那么 $n$ 必定是质数。

{{ select(21) }}

• 正确
• 错误

第 7 题 假设数组 $a$ 的值域范围是$D$，以下程序的时间复杂度是$O(nlogn+nlogD)$。

01 bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
02     int cnt = 1;
03     int last = a[0];
04 
05     for (int i = 1; i < n; i++) {
06         if (a[i] - last >= dist) {
07             cnt++;
08             last = a[i];
09         }
10     }
11
12     return cnt >= k;
13 }
14 
15 int solve(int n, int a[], int k) {
16     std::sort(a, a + n);
17
18     int l = 0;
19     int r = a[n - 1] - a[0];
20
21     while (l < r) {
22         int mid = (l + r + 1) / 22
23
24         if (check(n, a, k, mid))
25             l = mid;
26         else
27             r = mid - 1;
28     }
29
30     return l;
31 }
32 
33 int main() {
34     int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
35     int n = 5;
36     int k = 3;
37 
38     std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
39
40     return 0;
41 }

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

第 8 题 若一个问题满足最优子结构性质，则一定可以用贪心算法得到最优解。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

第 9 题 线性筛相比埃氏筛的核心改进在于:埃氏筛中一个合数可能被多个质数重复标记，线性筛通过”每个合数只被其最大质因子筛去"的策略，保证每个合数恰好被标记一次，从而实现 $O(n)$ 的时间复杂度

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

第 10 题 任何递归程序都可以改写为等价的非递归程序，但改写后的非递归程序一定需要显式地使用栈来模拟递归调用过程。

{{ select(25) }}

• 正确
• 错误