配点 : $600$ 点

問題文

$N$ 頂点の木 $T$ が与えられます。$i$ 番目の辺は頂点 $A_i$ と $B_i$ ($1 \leq A_i,B_i \leq N$) を結びます。

$T$ の各頂点を、それぞれ独立に確率 $1/2$ で黒く、確率 $1/2$ で白く塗り、黒く塗られた頂点を全て含むような $T$ の最小の部分木 (連結な部分グラフ) を $S$ とします。(黒く塗られた頂点がないときは、$S$ は空グラフとします。)

$S$ の穴あき度を、$S$ に含まれる白く塗られた頂点の個数とします。$S$ の穴あき度の期待値を求めてください。

答えは有理数となるので、注記で述べるように $\bmod 10^9+7$ で出力してください。

注記

有理数を出力する際は、まずその有理数を分数 $\frac{y}{x}$ として表してください。ここで、$x,y$ は整数であり、 $x$ は $10^9+7$ で割り切れてはなりません (この問題の制約下で、そのような表現は必ず可能です)。

そして、$xz \equiv y \pmod{10^9+7}$ を満たすような $0$ 以上 $10^9+6$ 以下の唯一の整数 $z$ を出力してください。

制約

• $2 \leq N \leq 2 \times 10^5$
• $1 \leq A_i,B_i \leq N$
• 与えられるグラフは木である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

$N$

$A_1$ $B_1$

$:$

$A_{N-1}$ $B_{N-1}$

出力

$S$ の穴あき度の期待値を $\bmod 10^9+7$ で出力せよ。

3
1 2
2 3

125000001

頂点 $1,2,3$ の色がそれぞれ 黒,白,黒 となったとき、$S$ の穴あき度は $1$ です。

それ以外の塗り方では $S$ の穴あき度は $0$ であるため、穴あき度の期待値は $1/8$ です。

$8 \times 125000001 \equiv 1 \pmod{10^9+7}$ より、$125000001$ を出力します。

4
1 2
2 3
3 4

375000003

期待値は $3/8$ です。

$8 \times 375000003 \equiv 3 \pmod{10^9+7}$ より、$375000003$ を出力します。

4
1 2
1 3
1 4

250000002

期待値は $1/4$ です。

7
4 7
3 1
2 6
5 2
7 1
2 7

570312505